Trọng tâm là gì? Cách xác định trọng tâm tam giác, tứ diện siêu đơn giản?

Trọng tâm được định nghĩa theo nhiều ngữ cảnh khác nhau. Theo Wikipedia dịch theo phiên âm Hán Việt thì trọng là sức nặng và tâm là phần ở giữa. Trọng tâm được sử dụng nhiều trong các bài toán hình học đặc biệt là trọng tâm tam giác, tứ diện.

I. Trọng tâm là gì?

Dịch theo phiên âm Hán Việt thì trọng là sức nặng còn tâm là phần ở chính giữa. Trọng tâm có nghĩa là điểm quan trọng nhất. Ví dụ như trọng tâm của vấn đề tức là điểm quan trọng nhất của vấn đề là gì?

Trong lĩnh vực Vật lý thì trọng tâm có nghĩa là điểm đặt của trọng lực tác dụng vào một vật. Trong trọng trường đều, trọng tâm của vật thể trùng với khối tâm của nó. Trong trọng trường không đều, trọng tâm có thể lệch với khối tâm. Nghĩa là khi một lực tác dụng lên vật thì lực có điểm đặt tại tâm của vật. Điểm đặt của lực giúp cho vật chịu tác động của lực: di chuyển, biến dạng.

Theo toán học thì trọng tâm có nghĩa là giao điểm 3 đường trung tuyến trong tam giác. Trọng tâm cách đều ba đỉnh của tam giác, nằm chính giữa tâm của tam giác. 

II. Trọng tâm tam giác là gì?

1. Định nghĩa

Trong một tam giác kẻ ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện và điểm giao nhau của ba đường trung tuyến đó chính là trọng tâm của hình tam giác.

2. Tính chất trọng tâm tam giác 

• Khoảng cách từ trọng tâm tới 3 đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
• Trọng tâm cách đều các đỉnh của tam giác. 
• Trong tam giác cân: Đối với tam giác ABC cân tại A thì đường trung tuyến kẻ từ A đến trung điểm BC đồng thời là đường cao, đường phân giác của tam giác
• Trong tam giác đều: Đối với tam giác đều ABC thì các đường trung tuyến lần lượt là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác. Nên suy ra trọng tâm G đồng thời là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. 

3. Cách xác định trọng tâm tam giác

Dựa vào định nghĩa và tính chất người ta chia thành 3 cách để xác định trọng tâm trong tam giác:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa. Vẽ ba đường trung tuyến từ ba đỉnh của tam giác nối đến trung điểm của ba cạnh đối diện. Tìm giao điểm của ba đường trung tuyến. Thực chất ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến và xác định giao điểm của chúng vì trọng tâm sẽ nằm trên đường còn lại. 

Cách 2: Sử dụng tính chất. Đầu tiên ta vẽ một đường trung tuyến nối từ đỉnh tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Độ dài từ đỉnh tam giác tới trọng tâm sẽ bằng ⅔ độ dài của đường trung tuyến. Dùng thước đo độ dài để chia tỉ lệ cạnh từ đó xác định trọng tâm G.

Cách 3: Sử dụng tính chất trọng tâm trong các tam giác đặc biệt như tam giác đều, tam giác cân. Từ việc vẽ được đường cao, đường phân giác hay đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp để xác định trọng tâm G.

4. Công thức tính trọng tâm tam giác trong toạ độ hình phẳng.

Trong phần hình học lớp 10 về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Oxy có đề cập tới cách xác định toạ độ trọng tâm G trong tam giác ABC. 

Cho tam giác ABC có: A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:

•  xG= ( xA+xB+xC)/3
•  yG= (yA+yB+yC)/3

5. Công thức trọng tâm trong toạ độ không gian: 

Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧 cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có tọa độ ba đỉnh lần lượt là : 𝐴(𝑥𝐴;𝑦𝐴;𝑧𝐴);𝐵(𝑥𝐵;𝑦𝐵;𝑧𝐵);𝐶(𝑥𝐶;𝑦𝐶;𝑧C) 

Khi đó toạ độ trọng tâm G có toạ độ là:

• xG=(xA+xB+xC)/3
• yG=(yA+yB+yC)/3
• zG=(zA+zB+zC)/3

6. Biểu thức trọng tâm tam giác trong bài toán véctơ 

Quy tắc trọng tâm: Với G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có:

(M là điểm tùy ý)

III. Trọng tâm của tứ diện là gì?

1. Định nghĩa

Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối từ đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện.

2. Cách xác định trọng tâm tứ diện

Cho tứ diện ABCD. Khi đó, 3 đường thẳng nối trung điểm 3 cặp cạnh chéo nhau đồng quy tại trung điểm mỗi đường. Điểm đó chính là trọng tâm tứ diện ABCD.

Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của ΔBCD. Trên đoạn AG lấy điểm K sao cho KA=3KG. Khi đó điểm K chính là trọng tâm tứ diện ABCD.

3. Tính chất

• Trọng tâm tứ diện cách đều bốn đỉnh của tứ diện
• Độ dài từ đỉnh tới trọng tâm bằng ⅔ khoảng cách từ đỉnh tới trọng tâm tam giác đối diện

4. Biểu thức trọng tâm tứ diện trong bài toán vectơ

(với mọi điểm P)