Bất đẳng thức Bunhiacopxki cùng những ứng dụng hiệu quả trong toán học

Bất đẳng thức Bunhiacopxki đã củng cố cho kho tàng tri thức toán học của nhân loại bằng một công thức có thể chứng minh và áp dụng vào trong thực tế. Đây là công thức có tính mở rộng, thường được áp dụng trong các bài tập chuyên sâu hay nâng cao hơn.

Nếu bạn đang có nhu cầu tìm hiểu chuyên sâu về các công thức toán học hay đang giải các bài tập khó, công thức Bunhiacopxki là thứ không thể bỏ qua.

I. Bất đẳng thức bunhiacopxki có dạng như thế nào?

Công thức cơ bản của bất đẳng thức Bunhiacopxki được trình bày như sau:

 (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

Cho hai dãy số thực là a1, a2,.......an và b1, b2,.......bn. Ta có công thức sau:

Ngoài ra, bất đẳng thức Bunhiacopxki còn có các hệ quả được suy ra như sau:

Hệ quả 1:

Nếu như: 

Thì ta có

Với điều kiện:

Hệ quả 2:

Nếu như:

Thì ta có

Với điều kiện:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

II. Tổng hợp các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Ở dạng tổng quát

Cho hai dãy số tùy ý có dạng như sau a1, a2, a3, an và b1, b2, b3, bn. Khi đó ta có công thức: 

Dạng 1: 

Dạng 2: 

Lúc này, đẳng thức ở dạng 1 và dạng 2 là

Dạng 3:

Lúc này, đẳng thức xảy ra ở dạng 3 có dạng:

Dạng 4:

Cho hai dãy số tùy ý theo dạng a1, a2, an và x1, x2, xvới x1, x2, xn > 0.

Ta có công thức như sau:

Dấu đẳng thức xảy ra trong dạng 4 là

Trong các dạng trên, bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 được gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản. Bất đẳng thức dạng 4 được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki ở dạng phân thức.

III. Khám phá một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

Kỹ thuật chọn điểm rơi với bất đẳng thức Bunhiacopxki

Giống với bất đẳng thức Cauchy, khi ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức, ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xảy ra.

Điều này có nghĩa là ta cần phải chọn được điểm rơi của bài toán khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Cụ thể, ta hãy tìm hiểu qua số ví dụ sau:

Ví dụ 1.1:

Cho a là số thức dương với . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 

Một số lỗi thường gặp như sau:

Lỗi sai 1:

Lỗi sai 2:

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của A là 2.

Nguyên nhân của lỗi sai: Để có giá trị nhỏ nhất là thì dấu đẳng thức lúc này là:  trái với giả thiết đưa ra